Zad 1

Dziedzina:

1. x jest w mianowniku, wiec trzeba wykluczyć x=0

2. arcsin jest okreslony id -1 do 1, wiec

-1 <= (x+y)/x <= 1

Czyli mamy dwie nierownosci:

-1 <= (x+y)/x i (x+y)/x <= 1

mnozymy obie strony obu nierownosci przez x (TU TRZEBA ZWROCIC UWAGE NA ZNAK x - ktory jest nieokreslony!)

Przypadek a. x>0

-x <= x+y i x+y <= x, wiec

-2x <= y i y <= 0

Przypadek b. x<0

-x >= x+y i x+y >= x (jak wyżej, ale nierownosci sa w druga strone!)

wiec

-2x >= y i y >= 0

W sumie a. i b. tworzą obszar zawarty pomiędzy prostymi y=2x i y=0.

Trzeba jeszcze uwzględnić fakt, że x nie moze byc "=" 0 i okazuje sie, ze dziedzina nie jest zbiorem otwartym, nie jest zbiorem domknietym i nie jest zbiorem ograniczonym.

Zbior wartosci - od -pi/2 do pi/2.

Poziomice najprosciej narysowc dla wartosci funkcji -pi/2, 0 oraz pi/2.

Zad 2.

Nalezy sprobowac policzyc granice funkcji przy x->0 i y->0.

Mozna teraz sprawdzic, czy granica istnieje - do wyboru jednym z dwóch sposobów:

Sposób a. - granice iterowane:

granica iterowana x->0 y->0 (czyli najpierw liczymy granice po y, potem po x)= a

granica iterowana y->0 x->0 = 3/2

wniosek - granica moze istniec tylko dla a=3/2

Sposób b. - ciągi:

np wstawiajac ciag (1/n,1/n) otrzymujemy, ze granica ciagu wynosi (a+3)/3

a wstawiajac inny ciag (1/n,2/n) otrzymujemy (a+12)/9

granica moze istniec tylko jesli (a+3)/3=(a+12)/9

czyli gdy a=3/2

Liczymy wiec granice wstawiajac a=3/2

(3/2 * x^2+3*y^2)/(x^2+2y^2)=(3/2)*(x^2+2y^2)/(x^2+2y^2)=3/2 (wyciagnalem przed nawias 3 oraz 1/2)

Przyrownujemu wynik granicy do wartosci funkcji w (0,0), ktora wynosi a, czyli 3/2

Jest rownosc, wiec jest ciaglosc dla a=3/2

Dla pozostalych a granica nie istnieje, wiec nie ma ciaglosci w tym punkcie.

Zad 3.

Najpierw trzeba zauwazyc, ze 1-|x| jest rowne:

a. 1-x, dla x>0

b. 1+x dla x<0

Teraz mozna narysowac obszar calkowania - jest to trojkat miedzy prostymi y=1-x,y=1+x,y=-1

Wiec najlepiej zapisac calke w postaci sumy dwoch calek

Jedna calkowana wewnatrz po y w granicach od y=-1 do y=1+x,a na zewnatrz po x od x=-2 do x=0

Druga calkowana wewnatrz po y w granicach od y=-1 do y=1-x, a na zewnatrz po x od x=0 do x=2

Ostateczniy wynik=-4

Zad 4.

Tu trzeba pamietac, ze pochodna z sqrt(x) jest równa 1/(2*sqrt(x)).

Należy policzyć pochodne czastkowe i przyrownac do zera. Są równe zero dla x=4,y=4;

Następnie policzyc drugie pochodne cząstkowe, obliczyć wyznacznik hessianu (macierzy drugich pochodnych) wpunkcie (4,4). Jeśli się nie pomyliłem, to wyznacznik>0, pierwsza wartosc w macierzy <0, wiec w (4,4) jest maximum lokalne.

Zad 5.

najprosciej przyjąc, że

f(x,y)=(sqrt(x)-sqrt(y))^2

x0=16,y0=100

x=15,y=99

dx=15-16=-1

dy=99-100=-1

Następnie policzyć wartosc funkcji oraz pochodne czastkowe funkcji w punkcie (16,100)

f(16,100)=36

f^{x}=1-sqrt(y)/sqrt(x), wiec w punkcie (16,100) jest równa -3/2

f^{y}=1-sqrt(x)/sqrt(y), wiec w punkcie (16,100) jest równa 3/5

i ostatecznie

f(15,19)~36-3/2*(-1)+3/5*(-1)=369/10

Zad 6.

Badany obszar to trójkąt. Trzeba zbadać wierzchołki, boki trójkąta oraz wnętrze trójkąta:

Wierzchołki:

1.f(0,0)=0

2.f(0,10)=0

3.f(10,0)=0

Boki:

1.f(x,0)=0

2.f(y,0)=0

3.x+y=10, wiec y=10-x i f(x,10-x)=x*(10-x)*(-4)=4x^2-40x

tu trzeba policzyc pochodna po x

f^{x}=8x-40, wiec 8x-40=0 dla x=5

f(5,5)=-100

Wnetrze:

liczymy pochodne czastkowe i przyrownujemy do zera:

f^{x}=6y-2xy-y^2=y*(6-2x-y)=0

f^{y}=6x-x^2-2xy=x*(6-x-2y)=0

Ze wzgledu na iloczyny, moga byc nastepujace rozwiazania tego ukladu rownan:

1.y=0,x=0

2.y=0,x=6

3.x=0,y=6

4.6-2x-y=0 i 6-x-2y=0, co mozemy rozwiazac wstawiajac x z jednego rownania do drugiego i otrzymamy x=2,y=2

Wiec obliczmay wartosci w tych punktach:

f(0,0)=0

f(0,6)=0

f(6,0)=0

f(2,2)=8

Czyli 8 to MAX, a -100, to MIN funkcji