GRUPA A

zad 1.

Pierwsza nierówność:

Re - oznacza część rzeczywistą z liczby zespolonej - czyli wszystko co nie jest pomnożone przez liczbę "i", więc jeśli oznaczymy z=x+iy to

Re(z^2-3)=Re(x^2+2xyi-y^2-3)=x^2-y^2-3, wiec pierwsza nierownosc to

x^2-y^2>3 - jest to hiperbola przecinajaca os y=0 w x=sqrt(3) i x=-sqrt(3)

Druga nierówność: |z/(z+1)|<1 - Najpierw trzeba zauwazyć, że można najpierw policzyć moduły, a dopiero potem wykonać dzielenie, a potem oznaczamy z=x+iy i otrzymujemy (ze wzoru na modul):

[(x^2+y^2)^(0.5)]/[((x+1)^2+y^2)^(0.5)]<1 - podnosimy obydwie strony do kwadratu(zeby nie miec pierwiastkow)

(x^2+y^2)/((x+1)^2+y^2)<1 - następnie mnożymy obie strony przez mianownik lewej strony (jest dodatni, wiec nie trzeba zmieniac znakow):

x^2+y^2<(x+1)^2+y^2 - obliczamy:

x^2+y^2<x^2+2x+1+y^2 - odejmujemy od obydwu stron x^2+y^2

0<2x+1, wiec ostatecznie:

-1/2<x

Czyli odpowiedzią jest prawa strona hiperboli

zad 2.

W(z)=z^4+z^3+z^2+z

Powinnismy od razu zauwazyc, ze z=0 jest jednym z pierwiastkow i po podzieleniu przez "z" mamy nowy wielomian:

W2(z)=z^3+z^2+z+1

Potem mozemy sprawdzac wartosci wielomianu dla 1 oraz -1 (dzielniki wyrazu wolnego)

W2(1)=4

W2(-1)=0

wiec z=-1 jest kolejnym pierwiastkiem,

Teraz dzielimy wielomian W2 przez (z-(-1)), czyli przez (z+1)

uzyskujemy wielomian

z^2+1

Przyrównujemy go do zera:

z^2+1=0

z^2=-1 - i ponieważ z jest liczbą zespoloną, to rozwiązaniem będzie z=i oraz z=-i, czyli pozostałe 2 pierwiastki wielomianu

Zad 3.

Równanie podwójne x+2y-z+t=x+y=x-y+t trzeba zamienić na dwa równania (bo są dwa znaki równości):

x+2y-z+t=x+y

x+y=x-y+t

i uproscic rownania:

y-z+t=0

y=-y+t

jeszcez bardziej uproscic:

z=t+y

t=2y

i na koniec mamy:

z=3y

t=2y

Wiec wektor ktory nalezy do przestrzeni V musi mieć postać:

[x,y,3y,2y]

a taki wektor mozemy zapisac w postaci kombinacji liniowej dwóch wektorów:

[x,y,3y,2y]=x*[1,0,0,0]+y*[0,1,3,2]

Te dwa wektory generują podprzestrzeń V i ponieważ są liniowo niezależne, to są też jej bazą.

A ponieważ w bazie są dwa wektory, to wymiar przestrzeni dim(V)=2

Zad 4.

Należało policzyć iloczyny skalarne każdej pary wektorów:

[2,-1,3]o[-1,4,2]=0

[2,-1,3]o[2,1,-1]=0

[-1,4,2]o[2,1,-1]=0

I ponieważ wychodzą same zera, to baza ta jest ortogonalna.

Teraz można znaleźć współrzędne wektora [0,2,-3] na dwa sposoby:

sposob numer 1:

Trzeba rozwiazac równanie macierzowe:

|2 -1 2| |x| | 0|

|-1 4 1|*|y|=| 2|

|3 2 -1| |z| |-3|

Sposób numer 2:

Skorzystać ze wzorów na współrzędne w bazie, w przypadku gdy baza jest ortogonalna:

x=([0,2,-3]o[2,-1,3])/([2,-1,3]o[2,-1,3])

y=([0,2,-3]o[-1,4,2])/([-1,4,2]o[-1,4,2])

y=([0,2,-3]o[2,1,-1])/([2,1,-1]o[2,1,-1])

Zad 5.

Po pierwsze X - to jest macierz (sugeruje to wielka litera, albo polecenie w zadaniu "Rozwiąż równanie macierzowe")

Po drugie należy pamiętać, że mnożenie macierzy NIE jest przemienne!

Równanie ma postać:

A*X*B=C

więc żeby znaleźć X, należy lewostronnie pomnożyć równanie przez A^(-1) i prawostronnie przez B^(-1), otrzymując:

X=A^(-1)*C*B^(-1)

Nie będę już przypominał jak znajduje się macierz odwrotną (jest to na wykładzie).

Proszę też nie mnożyć jednocześnie 3 macierzy przez siebie (bo się tak nie da)- najpierw trzeba pomnożyć pierwszą przez drugą, a potem dopiero to co nam wyjdzie pomnożyć przez 3 macierz

Wynik zadania:

X=|-35/24 11/12|

|-69/24 21/12|

Zad 6.

Wyznacznik układu równań musi być różny od zera.

Po pierwsze - wyznacznik można liczyć tylko dla macierzy kwadratowych.

Po drugie jeśli to równanie zapiszemy w postaci A*X=B to interesuje nas tylko wyznacznik macierzy A, czyli:

|4 -2|=-12+12p^4

|6p^4 -3|

przyrównujemy do zera:

-12+12p^4=0

12p^4=12

p^4=1

i ponieważ p jest liczbą zespoloną, to takich liczb jest 4, i wszystkie lezą na okręgu, co 90 stopni. Chyba od razu widać, że p=1 i p=-1 to dwa pierwiastki, to jak narysujemy je na płaszczyżnie zespolonej i przejdziemy po okręgu o 90 stopni, to uzyskamy pozostałe dwa pierwiastki p=i oraz p=-i.

Więc odpowiedż: jest to układ Cramera dla wszystkich p zespolonych poza p=1, p=-1, p=i, p=-i

GRUPA B

Zad 1.

podstawiamy z=x+iy

Dzielenie z/(z+2) wykonujemy mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika:

[(x+iy)*(x+2-iy)]/[(x+iy+2)*(x-iy+2)]=[x^2+2x-xiy+xiy+2iy+y^2]/[(x+2)^2+y^2]=

=[x^2+2x+2iy+y^2]/[(x+2)^2+y^2]

W ten sposób w mianowniku nie ma już liczb urojonych i jak weźmiemy część urojoną od tego wyrażenia, to otrzymamy (to co stoi przy i):

Im([x^2+2x+2iy+y^2]/[x^2+4x+4+y^2]=2y/[(x+2)^2+y^2]>0

A ponieważ mianownik jest zawsze ">=0" to zostaje

y>0

Druga nierówność opisuje wnętrze okręgu o promieniu 2 i środku w (-1,1)

Zad 2.

podobnie jak w grupie A - z postaci wielomianu widzimy, że z=0 jest pierwiastkiem, obliczamy

W(1)=0

W(-1)=4

więc z=1 jest kolejnym pierwiastkiem

dzielimy przez z+2 i otrzymujemy

z^2+1=0

czyli z^2=-1

więc

z=i

z=-i

są kolejnymi pierwiastkami wielomianu

Zad 3:

wektor [x-2y-z,2x-3z,3x+4y-5z] zapisujemy jako kombinację liniową trzech wektorów:

x*[1,2,3]+y*[-2,0,4]+z*[-1,-3,-5]

Te trzy wektory generują przestrzeń V

Trzeba sprawdzić czy są liniowo niezależne - zapisać je jako macierz i obliczyć wyznacznik - wyjdzie niezerowy, więc są one bazą V i ponieważ jest ich 3, to dim(V)=3

Zad 4. Analogicznie jak w grupie A

Zad 5. Analogicznie jak w grupie A

Zad 6.

wyznacznik tej macierzy = 1-z^3

więc jest równy zero dla z^3=1 - czyli dla trzech liczb! (bo z jest liczbą zespoloną)

z=1 lub z=-1/2+sqrt(3)/2 lub z=-1/2-sqrt(3)/2